HISTORIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
La
fascinación por las matemáticas y su gran participación en todo lo físico y
lógico se parte con el gran científico inglés Isaac Newton (1642-1727), su
inspiración fue la necesidad de entender el movimiento partiendo desde 1665,
sus primeros estudios inician de “la expresión de funciones en series de potencias” y por su pro activo
pensamiento por los cambios de la
velocidad y la variación de las magnitudes de medida como longitudes, áreas, volúmenes entre otras.
Es denominado “el padre de las leyes de la dinámica” y creador de las leyes de
gravitación universal, y lo cual permitió calcular la fuerza que actúa sobre un
cuerpo en reposo y la velocidad del mismo. En el área de las ecuaciones
diferenciales formulo un método sistemático de diferenciación en 1711, además
de que en 1742 se publicó “Methodus fluxionum et serierum infinitorum” en el
tiempo en que ya aparecían las ecuaciones diferenciales. A pesar de estos, uno
de sus trabajos más admirados fue la obra impresa “ Philosophiae naturails
principia mathematica” en 1687. Newton es considerado uno de los fundadores del
cálculo diferencial e integral junto a Leibniz.
Seguidamente
escribió en la segunda ley de los principios la ecuación mv =
mg – kv donde m.g y k con
constantes reales mayores de cero, obteniendo de esta manera la ecuación
diferencial v = v(t).
Finalmente Newton es reconocido a través del tiempo por el concepto de las
leyes físicas que llevan su nombre y determinaba que estas leyes eran
ecuaciones diferenciales. Las cuales siguen vigentes hasta la fecha. A Newton
le debemos la clasificación de las ecuaciones diferenciales las cuales son:
a)
Integral
definida
a.
_y_
= f(x)
X
b)
_y_
= f(y)
X
c)
y_ =
f(x, y)
X
El
tutorial historia de las ecuaciones
diferenciales narran como estas son un
método de solución de diversas disciplinas en donde el análisis y la
interpretación de problemas matemáticos a través de la determinación de una
función; otorgan a las mismas la necesidad de contribuir a la creación de
aplicaciones físicas, químicas y de ingenierías, se originaron como una nueva rama de las
matemáticas donde los matemáticos de la época utilizaban posiciones físicas del
tiempo, la velocidad y como si dy/dt = 0 significaba que la velocidad era nula,
es decir, el cuerpo no cambia de estado
permanece en reposo. Esta ley es conocida como leyes físicas creadas por Isaac Newton, quién además clasifico
las ecuaciones integrales. Otro autor muy importante en la formulación de las ecuaciones diferenciales a principios
del siglo XVIII fue John Napier (1550- 1617) quien invento los logaritmos,
seguidamente el físico matemático Galileo Galilei (1564 - 1642) quien estudio
el movimiento horizontal paralelo con la horizontal, analizo el comportamiento
del mismo demostrado que “la trayectoria de proyectil despreciando la
resistencia del aire, es una parábola”. Por otra parte , se dice que fue el
verdadero inventor del cálculo diferencial
pero, las ecuaciones diferenciales comienzan con Isaac Newton y
Gottfried Whitelm Leibniz.
En
síntesis el siglo XVIII es considerado el siglo de la integración elemental de
las ecuaciones diferenciales ya que las mismas fueron aplicadas a la solución e
investigación en problemas de mecánica, geometría diferencial y cálculo de
variaciones, logrando la relación con funciones y series trigonométricas. Por
ende, se debe a Euler el procedimiento numérico dela solución de las ecuaciones diferenciales. Euler en 1753
dio para la ecuación más general U”” tt = a . U”” xx la solución U =
f(x+ at)+ g(x - at).
Monge
también hizo participaciones destacadas por su visión geométrica, estudio
ecuaciones de primer y segundo orden. Mediante el método de ecuaciones
características. Gracias a él, es posible reducir ecuaciones a otras cuya
solución era conocida. Por otra parte Jacobi y Abel trabajaron sobre funciones
elípticas, donde Jacobi descubrió un método denominado Hamilton-Jacobi
(ecuaciones canónicas).Finalmente durante el siglo XIX aparecen nuevas ideas
generadas a dar solución a problemas de la física matemática, de los que se
destacan los relacionados con la serie de Fourier. Sin embargo, el punto de
partida es el famoso trabajo sobre la
difusión del calor J. B Fourier (1768 1830) donde desarrollo el método de
separación de variables organizando las ideas de D Bernoulli, llegando a la
representación de soluciones trigonométricas. También un elemento muy
importante fue la implementación de conceptos de norma y producto escalar
obteniéndose la desigualdad de Bessel, la de Schawarz y la desigualdad triangular.
Resumiendo que existieron muchos físicos matemáticos que contribuyeron a la
formación del cálculo diferencial que hoy conocemos sin olvidar. Como la
geometría diferencial, las geometrías no euclideas y la topología, inciden en
la física matemática donde hasta ahora se trabaja estableciendo condiciones
para la soluciones de ecuaciones.
HISTORY DIFFERENTIAL EQUATIONS
The fascination for mathematics and great participation in all physical and logical part with the great English scientist Isaac Newton (1642-1727), his inspiration was the need to understand the movement starting from 1665, his first studies start of " expression power series functions "and its proactive thought by changes of speed and the variation of measured variables as lengths, areas, volumes among others. It is called "the father of the laws of dynamics" and creator of the laws of universal gravitation, and which allowed to calculate the force acting on a body at rest and its speed. In the area of differential equations I formulate a systematic method of differentiation in 1711, plus it was published "Methodus fluxionum et serierum infinitorum" in 1742 at the time and appeared differential equations. Despite this, one of his most admired works was the printed work "Principia Mathematica Philosophiae naturails" in 1687. Newton is considered one of the founders of differential and integral calculus with Leibniz.
Then he wrote in the second law of the principles the equation mv = mg - kv where k m.g and real constants greater than zero, thereby obtaining the differential equation v = v (t).
Finally Newton is recognized over time by the concept of physical laws that bear his name and determined that these laws were differential equations. Which remain in force to date. A Newton owe the classification of differential equations which are:
a) Integral defined
a. _y_ = f(x)
X
b) _y_ = f(y)
X
c) y_ = f(x, y)
X
Referencias
Bibliográficas:
Tutorial
ecuaciones diferenciales:
Este
tutorial, está compuesto por unos contenidos históricos de las creaciones de
los fundadores físicos, matemáticos, de las ecuaciones diferenciales la cual,
indica de manera mu explicativa las participaciones de matemáticos, como
Newton, Leibniz, Jacob, Euler entre otros, en la formulación del cálculo
diferencial como tal y como, con la complementación y organización de las bases
ya dadas por cada uno de ellos al trascurrir el tiempo se logró encontrar las
soluciones a ecuaciones diferenciales que anteriormente se crían imposibles de
calcular, es apreciable conocer como gracias a las inquietudes de estos grandes
Físicos matemáticos hoy en día podemos identificar y calcular el tiempo,
espacio, movimiento, peso entre otras magnitudes, y entender la importancia que
tiene poder comprender y solucionar un problema generado por una situación real
en la que las variables son las protagonistas a encontrar. En conclusión las
ecuaciones diferenciales son un método matemático utilizado en la solución a
los diversos problemas matemáticos que se presentan en campos como la
tecnología, física, etc., la cual a pesar de su dificultad han sido la
herramienta de calcular variables que de otra manera no se podrían llegar a
conocer.
HISTORIA
DE LA CIVILIZACIÓN MESOPOTÁMICA
La historia de las matemáticas está
estrechamente ligada a la evolución de las cifras numéricas y su evolución, un
vivo ejemplo de ello es la civilización Mesopotámica la cual es considerada uno de los florecimientos en la expresión
verbal de los problemas algebraicos como los son palabras como: “us (longitud), sag (anchura) y a!a
(área) utilizadas para representar las incógnitas”. Una característica que
diferencia a los mesopotámicos de los egipcios es como los indicios de
información suministrada fueron registrados en “tablillas de arcilla” y no en
papiros lo cual, ha permitió que los problemas matemáticos se conserven hasta
la actualidad en mejores condiciones a través del tiempo y los datos
registrados en estas son escritos verbales sin utilizar símbolos especiales.
Según registros históricos el álgebra
en Mesopotamia tuvo niveles de solución más altos ya que, en los cálculos alcanzaron a resolver ecuaciones
lineales como ecuaciones cuadráticas sin ninguna dificultad y algunos ejemplos
de ecuaciones cúbicas. Además, cabe resaltar que estas se originaron de
situaciones geométricas las cuales terminaron por imponerse. Por consiguiente
La ecuación cuadrática de la forma
la resolvían de la siguiente forma:
“primero calculaban p/2, a obteniendo
por último (p/2)"-q, entonces obtenían la solución de la incógnita x =
p /2 + # (p/2)" + q”. Fórmula cuadrática actual conocida por todo el
mundo. Por otra parte los babilónicos no conocían los números negativos y por
tanto, no les fue posible considerar las raíces negativas de las ecuaciones de
segundo grado. Lo que conllevo a las raíces cubicas
Según la historia de las matemáticas
se puede reafirmar que los babilónicos
fueron grandes protagonistas en la evolución y formulación de las ecuaciones
cuadráticas y lineales que hoy conocemos, gracias a ellos fue posible calcular
las mismas, por ende, se puede deducir que todos los aportes de los diferentes
representantes en la evolución según su
época fueron de vital importancia para que sea utilizada y enseñada el álgebra
que hoy se dicta en las diferentes instituciones educativas y como al conocer la
historia podemos ser partícipes activos y comprender que una expresión
algebraica es el resultado de la concentración de las ideas y conocimientos de
los matemáticos de los inicios de la civilización.
HISTORY OF CIVILIZATION MESOPOTÁMICA
The history of mathematics is closely linked to the development of numerical figures and their evolution, a living example of this is the Mesopotamian civilization which is considered one of the blooms in the verbal expression of algebraic problems as are words like: "us (length), sag (width) and! a (area) used to represent the unknown". One feature that differentiates the Mesopotamians of the Egyptians is as evidence of information provided were recorded in "clay tablets" and not on papyri which has allowed the mathematical problems are kept until now in better condition through time and the data recorded in these verbal and written without using special symbols.
According to historical records of algebra in Mesopotamia it had higher levels of solution because, in calculations amounted to solve linear equations and quadratic equations without any difficulty and some examples of cubic equations. In addition, it should be noted that these originated from geometric situations which ended prevail. Accordingly The quadratic equation of the form
the resolved as follows:
"First calculating p / 2, to obtain finally (p / 2)" - q, then the solution obtained the unknown x= p / 2 + # (p / 2) "+ q". Quadratic formula now known worldwide. Furthermore the Babylonians were unaware of the negative numbers, and therefore were unable to consider the negative roots of quadratic equations. Which led to the cube roots.
According to the history of mathematics we can say that the Babylonians were major players in the development and formulation of linear and quadratic equations we know today, thanks to them it was possible to calculate them, therefore, we can deduce that all contributions the different representatives in evolution by time were of vital importance to be used and taught algebra that today is taught in different educational institutions and how to know the history can be active participants and understand that an algebraic expression is the result of the concentration of ideas and mathematical knowledge of the beginnings of civilization.
Información resumida del tutorial
Historia del algebra y de sus textos.
HISTORIA DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
Este
vídeo habla sobre la relación entre
las matemáticas y el mundo físico. Por medio de la
armonía pitagórica, explicado por Dr. David L.Goodstein. Esta relación se olvidó
y pos u caso 1000 años después fue Galileo Galile quien volvió a hablar de
ello. El libro del universo y para poder leer este
libro se deben aprender a leer
números y esto es usado para muchas cosas más
que solo la matemática como: el lenguaje de la música o los
físicos. Después el video continúa explicando más sobre
las matemáticas y Galileo. Galileo crea la cinemática por medio
de su inconformismo ya que las matemáticas griegas le eran muy fáciles. Aunque
era alto el conocimiento, Galileo continuaba su conocimiento en
las bases antiguas. 25anos después de su muerte
llega el cálculo diferencial, como derivación. Una derivada se puede
comparar con un ejemplo básico de ejercicio ejemplo: un cuerpo
moviéndose o un movimiento en un momento
determinada. Ejemplo una derivada puede mostrar la velocidad,
el cambio o ritmo de cambio de un precio, de
un globo u otros. Este es un proceso que se puede
notar o ver en todo. Viendo otros términos y otros
matemáticos que son de influencia
como el francés Pierre de Fermat.
Las matemáticas son complejas y tienen sus puntos altos
bajos. Clarificacon anos y también el trabajo en equipo que realisan entre diferentes
pensadores del
tiempo. Cuestionando con ejemplos simples como la manera que
la pendiente se puede calcular en un punto
dado, teniendo en cuenta el otro punto y
se traza una cuerda y la pendiente depende
del 2 punto y de pendiendo de eso se saca una
respuesta.
Este video es
súper didáctico lo que permite que la
historia sea más que eso sino un aprendizaje
agradable y visual. Habla de los diferentes derivados y
la forma de calcularlos con diferentes reglas. Es
un video que explica directamente el cambio al pasar de
los anos pero más que eso los diferentes usos no
solo a la matemática si no en situaciones del día a día.
Einstein muestra que la física usa de gran manera
la matemática, que no es algo nuevo. La física usa más
de la matemática, que lo que quieren aceptar los físicos.
HISTORY OF DIFFERENTIAL CALCULUS
This video talks about the relationship between mathematics and the physical world. Through the Pythagorean harmony, explained by Dr. David L.Goodstein. This relationship forgot or case and after 1000 years after Galileo Galile who was returned to talk about it. The book of the universe and to read this book to learn to read numbers and this is used for much more than just mathematics as the language of music or physical. After the video goes on to explain more about mathematics and Galileo. Galileo creates the kinematics through its nonconformity since Greek mathematics you were very easy. Although knowledge was high, Galileo continued his knowledge on ancient foundations. 25years after his death arrives differential calculus, as derivation. A derivative can be compared to a basic example of exercise example: a body moving or movement in a given time. Such a derivative can display speed, change or rate of change of a price, a balloon or other. This is a process that can be felt or seen at all. Viewing other terms and other mathematicians who are of influence as the French Pierre de Fermat. Mathematics are complex and have their high points lower. Clarificacon years and also the teamwork between different thinkers realisan time. Questioning with simple examples like the way the slope can be calculated at a given point, considering the other point and a rope and slope depends on the 2-point and plotted hanging that an answer is removed.
This video is super didactic allowing the story to be more than that but a nice visual learning. Talks about the different derivatives and how to calculate them with different rules. It is a video that explains the change directly to over the years but more than that the different uses not only to mathematics if not in everyday situations. Einstein shows that physics uses mathematics greatly, it is not something new. Physical uses more than mathematics, which they want to accept the physical.
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TRIÁNGULOS
ETERNOS TRIGONOMETRÍA
La
geometría euclidiana se basa en triángulos, principalmente porque todo polígono
puede construirse a partir de triángulos, y muchas formas interesantes, tales
como círculos o elipses, pueden aproximarse por polígonos. Las
propiedades métricas de los triángulos —las que pueden medirse, tales como las
longitudes de los lados, los tamaños de los ángulos o el área total— están
relacionadas por una variedad de Fórmulas,
algunas de ellas muy elegantes. El uso práctico de dichas fórmulas, que son
extraordinariamente útiles en navegación y topografía, requería el desarrollo
de la trigonometría, que básicamente significa «medir triángulos».
La
trigonometría generó varias «funciones especiales»:
La
historia de la trigonometría y de las funciones trigonométricas podría
extenderse por más de 4000 años. Los babilonios determinaron
aproximaciones de medidas de ángulos o de longitudes de los lados de los
triángulos rectángulos. Varias tablas grabadas sobre arcilla seca lo
testimonian. Así, por ejemplo, una tablilla babilonia escrita en cuneiforme,
denominada Plimpton 322 (en torno al 1900 a. C.) muestra quince ternas
pitagóricas y una columna de números que puede ser interpretada como una tabla
de funciones trigonométricas; sin embargo, existen varios debates sobre si, en
realidad, se trata de una tabla trigonométrica.
La
historia de la trigonometría comienza con los babilonios y los Egipcios. Estos
últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.
Sin embargo, en los tiempos de la Grecia a clásica, en el siglo II
a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para
resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta
180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada
por los lados del ángulo central, dado que corta a una circunferencia de radio
r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años después, el
astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema
numérico (base 60) de los babilonios.
Durante
muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los
astrónomos.
El
libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de
cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del
libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos
desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao
utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al
mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema
trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos.
Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo
rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos
valores para ésta en sus tablas.
A
finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a
finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco
funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la
trigonometría, tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos
sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los
valores modernos de las funciones trigonométricas El occidente latino se
familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de
astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer
trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y
astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A
principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y
gracias a esto los Cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A
mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral.
Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas
funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable
x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para
el cos x y la tag x.Con la invención del cálculo las funciones
trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan
un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por
último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las
propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números
complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones
con exponenciales de números complejos.
La trigonometría es la
parte de las matemáticas que estudia las razones entre los lados de los
triángulos, especialmente del triángulo rectángulo; las funciones
trigonométricas surgen al estudiar el triángulo rectángulo y observar que
las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cuales quiera de sus lados
solo depende del valor de los ángulos del triángulo La trigonometría
sirve para calcular distancias sin la necesidad de recorrerlas y se establecen
por medio de triángulos, circunferencia y otros.
La
trigonometría en la vida real es muy utilizada para los futuros ingenieros, ya
que pueden medir alturas o distancias, realizar medición de ángulo, entre otras
cosas. Sirve para medir la distancia que hay desde cierto punto a otro
empleando ciertos elementos como un triángulo rectángulo, escaleno, isósceles y
de cualquier tipo.
Ayuda
también para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana y de
otros campos del conocimiento científico.
La
humanidad siempre ha sentido curiosidad por conocer distancias astronómicas,
como la que ya existe entre la tierra y el Sol, a través de la semejanza de
triángulos y relaciones entre los lados y ángulos de éstos. Se pueden calcular
distancias inaccesibles; realizar estos cálculos, que se conocen desde la época
de los griegos, es la misión de la trigonometría.
ETERNAL TRIANGLES TRIGONOMETRY
Euclidean geometry is based on triangles, mainly because all polygon can be built from triangles, and many interesting, such as circles or ellipses, shapes can be approximated by polygons. The metric properties of -the triangles that can be measured, such as the lengths of the sides, the sizes of the angles or completely area are related by a variety of formulas, some of them very elegant. The practical use of these formulas, which are extremely useful in navigation and topography, required the development of trigonometry, which basically means "measuring triangles."
The history of trigonometry begins with the Babylonians and Egyptians. The latter established the measure angles in degrees, minutes and seconds. However, in the times of classical Greece, in the second century B.C. astronomer Hipparchus constructed a string table to solve triangles. It started with a 71 ° angle and going up to 180 ° in increments of 71 °, the table was the length of the delimited by the sides of the central angle, rope as cutting a circle of radius r. the value that Hipparchus used for r is not known. 300 years later, the astronomer Ptolemy used r = 60, then the Greeks adopted the number system (base 60) of the Babylonians.
For many centuries, trigonometry of Ptolemy was the basic introduction to astronomers.
The astronomy book Almagest, written by him, also had a table of chords along with the explanation of his method to compile, and throughout the book gave examples of how to use the table to calculate the unknown elements of a triangle from known. Menelaus theorem used to solve spherical triangles was written by Ptolemy.
At the same time, astronomers of India had also developed a system based on trigonometric sine function instead of strings as the Greeks. This sine function, was the length of the opposite side at an angle in a given rectangle triangle hypotenuse. Mathematical Indians used various values for this in its tables.
At the end of the eighth century Arab astronomers worked with the sine function and the late tenth century had already completed the sine function and the other five functions. They also discovered and proved fundamental theorems of trigonometry for both flat and spherical triangles. Mathematicians suggested using the value r = 1 instead of r = 60, and this gave rise to the modern values of trigonometric functions The Latin West became acquainted with the Arab trigonometry through translations of books of Arabic astronomy, which began to appear in the twelfth century. The first important work in this field in Europe was written by the German mathematician and astronomer Johann Müller, called Regiomontano.
In the early seventeenth century, the mathematician John Napier invented logarithms and thanks to this trigonometric calculations received a big boost.
A mid-seventeenth century Isaac Newton invented the differential and integral calculus. One of the foundations of Newton's work was the representation of many mathematical functions using infinite series of powers of the variable x. Newton found the series for sin x and similar series for cos x and the tag x.Con the invention of calculus trigonometric functions were incorporated into the analysis, which still play an important role both in pure mathematics and applied.
Finally, in the eighteenth century, the mathematician Leonhard Euler proved that the properties of trigonometry were the result of the arithmetic of complex numbers and further defined the trigonometric functions using exponential expressions with complex numbers. Trigonometry is the part of mathematics that studies the ratios between the sides of the triangles, especially of the right triangle; trigonometric functions arise when studying the triangle and observe that the reasons (ratios) between the lengths of two which any of its sides only depends on the value of the angles of the triangle Trigonometry is used to calculate distances without the need to roam around and settle by triangles, circumference and others. Trigonometry in real life is very used for future engineers because they can measure heights or distances, perform angle measurement, among other things. It used to measure the distance from one point to another using certain elements like a triangle, scalene, isosceles and of any kind.
also help to solve problematic situations of everyday life and other fields of scientific knowledge.
Mankind has always been curious about astronomy, as already exists between the earth and the sun, through the similarity of triangles and relationships between the sides and angles of these distances. Inaccessible distances can be calculated; perform these calculations, known since the time of the Greeks, is the mission of trigonometry.
CÁLCULO
El
Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad.
Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría,
el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva
perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, Descubrimiento o nueva
teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen
posible su nacimiento. Es muy interesante prestar
atención en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona
a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través
de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva
teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para
el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El
Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de
dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con
los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo
XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría
construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días.
Sus
aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de
una u otra forma ha recibido su influencia; y las diferentes partes del
andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la
tecnología moderna.
Newton
y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un
eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes
dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores
inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión
necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su
desarrollo posterior.
Estos
desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como
Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los
alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres
lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme,
Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado
por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón,
Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e
histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas
decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por
Descartes y Fermat.
Sin
la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de Newton y
Leibniz seguramente no existiría.
Su
construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la
Europa del siglo XVII. Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empírica y
la descripción matemática de nuestra relación con la realidad. La revolución
científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse
con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V
y XV. Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron
precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los
siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo
Diferencial e Integral están en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y
de sociedad de la que, esencialmente, somos parte.
El
extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica
durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y
por eso se puede considerar como una de la joyas de la creación intelectual de
la que el hombre puede sentirse orgulloso.
El
siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo
En
sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas
científicos y matemáticos:
Encontrar
la tangente a una curva en un punto.
Encontrar
el valor máximo o mínimo de una cantidad.
Encontrar
la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un
sólido.
Dada
una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo
conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier
instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la
aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia
recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.
En
parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este
siglo, concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried
Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Issac Newton: la creación del
cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultánea pero sus
enfoques son diferentes.
Los
trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas (de
allí que tratara a las variables como "cantidades que fluyen")
mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de
su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una
velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementos infinitamente
pequeños, a los que llama diferenciales.
Un
Incremento de x infinitamente pequeño se llama diferencial de x, y se
anota dx.
Lo
mismo ocurre para y (con notación dy). Lo que Newton llamó fluxión, para
Leibniz fue un cociente de diferenciales (dy/dx). No resulta difícil imaginar
que, al no poseer en esos tiempos un concepto claro de límite y ni siquiera de
función, los fundamentos de su cálculo infinitesimal son poco rigurosos. Se
puede decir que el cálculo de fluxiones de Newton se basa en algunas
demostraciones algebraicas poco convincentes, y las diferenciales de Leibniz se
presentan como entidades extrañas que, aunque se definen, no se comportan como
incrementos. Esta falta de rigor, muy alejada del carácter
perfeccionista de la época griega, fue muy usual en la época pos renacentista y
duramente criticada. Dos siglos pasaron hasta que las desprolijidades en los fundamentos
del cálculo infinitesimal se solucionaron, y hoy aquel cálculo, potencialmente
enriquecido, se muestra como uno de los más profundos hallazgos del
razonamiento humano.
Resulta
muy interesante la larga y lamentable polémica desatada a raíz de la prioridad en
el descubrimiento. Al principio la disputa se realizó en el marco de la
cortesía pero al cabo de tres décadas comenzó a ser ofensiva hasta que en el
siglo XVIII se convirtieron en mutuas acusaciones de plagio. La polémica se
tornó cada vez mayor y finalmente se convirtió en una rivalidad entre los
matemáticos británicos y los continentales.
La
discusión siguió hasta mucho después de la muerte de los dos grandes
protagonistas y, afortunadamente, hoy ha perdido interés y la posteridad ha
distribuido equitativamente las glorias. Hoy está claro que ambos descubrieron
este cálculo en forma independiente y casi simultánea entre 1670 y 1677, aunque
fueron publicados unos cuantos años más tarde.
La
difusión de las nuevas ideas fue muy lenta y al principio sus aplicaciones
escasas. Los nuevos Métodos tuvieron cada vez más éxito y permitieron resolver
con facilidad muchos problemas. Los nuevos logros fueron sometidos a severas
críticas, la justificación y las explicaciones lógicas y rigurosas de los
procedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el siglo XIX, cuando
Aparecieron otros matemáticos, más preocupados por la presentación final de los
métodos que por su utilización en la resolución de problemas concretos.
El siglo XVIII
Durante
buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus
trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería,
lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las
matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y
el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange, también
francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó
contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números,
y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría
analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica
celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de "el Newton
francés".
Sin
embargo, el gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas
fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus
aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se
convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas
disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas
tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar
la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del
cálculo. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de
Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente
algebraica y basada en el concepto de las series infinitas. Todos estos
sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría
griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.
A
los matemáticos de fines del siglo, el horizonte matemático les parecía
obstruido. Se había llegado al estudio de cuestiones muy complicadas a las que
nos se les conocía o veía un alcance claro. Los sabios sentían la necesidad de
estudiar conceptos nuevos y hallar nuevos procedimientos
El siglo XIX
Un
problema importante fue definir el significado de la palabra función. Euler,
Lagrange y el matemático francés Fourier aportaron soluciones, pero fue
el matemático alemán Dirichlet quien propuso su definición en los términos
actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un enfoque
lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de
"función continua". Basó su visión del cálculo sólo en cantidades
finitas y el concepto de límite.
Esta
solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real.
Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no
fue él sino el matemático alemán Dedekind quien encontró una definición
adecuada para los números reales. Los matemáticos alemanes Cantor y Weierstrass
también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.
Además
de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a
las técnicas del cálculo, se llevaron a cabo importantes avances en esta
materia. Gauss, uno de los más importantes matemáticos de la historia, dio una
explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un
nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy,
Weierstrass y el matemático alemán Riemann. Otro importante avance fue el
estudio de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas, herramientas
muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas, hecho por
Fourier.
Cantor
estudió los conjuntos infinitos y una aritmética de números infinitos. La
teoría de Cantor fue considerada demasiado abstracta y criticada. Encontramos
aquí un espíritu crítico en la elaboración de estas nociones tan ricas. Esto
constituye un punto de vista muy diferente del que animaba a los matemáticos
del siglo anterior. Ya no se trata de construir expresiones ni forjar nuevos
métodos de cálculo, sino de analizar conceptos considerados hasta entonces
intuitivos. Gauss desarrolló la geometría no euclideana pero tuvo miedo
de la controversia que pudiera causar su publicación.
También
en este siglo se pasa del estudio simple de los polinomios al estudio de la
estructura de sistemas algebraicos.
Los
fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el
siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés Boole en su
libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854).
Siglo XX y nuestros días
Es
importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la
teoría de la medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por
matemáticos que lo sucedieron.
En
la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el
matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi
todas las ramas de la matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él
creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que recién
comenzaba. Estos problemas fueron el estímulo de una gran parte de los
trabajos matemáticos del siglo.
El
avance originado por la invención del ordenador o computadora digital
programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el
análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó nuevas áreas de
investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se convirtió en una
poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las
ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador permitió
encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido
resolver anteriormente.
El
conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca.
Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más
completas y abstractas.
Aunque
la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros siguen
sin solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la
matemática más abstracta encuentra aplicación.
Como
puedes observar, el cálculo se desarrolló a la sombra de cuatro problemas sobre
los que estaban trabajando los matemáticos europeos del siglo XVII.
1.
El problema de la recta tangente
2.
El problema de la velocidad y la aceleración
3.
El problema de máximos y mínimos
4.
El problema del área.
CALCULATION
The calculation is one of the great intellectual achievements of mankind. Once built, the history of mathematics and was not the same: geometry, algebra and arithmetic, trigonometry, were placed in a new theoretical perspective. Behind any invention, discovery or new theory, there is undoubtedly the evolution of ideas that make possible birth. It is very interesting to pay attention to the wealth of knowledge that accumulates, develops and evolves over the years to produce, at some particular time and through a specific person, the birth of a new idea, a new theory that surely will become an important tool for the current state of science discovery and therefore deserves recognition. Calculation crystallizes concepts and methods that humanity was trying to master for over twenty centuries. A long list of people worked with the "infinitesimal" methods but had to wait until the seventeenth century to have social, scientific and mathematical maturity that would build the calculation we use today.
Its applications are difficult to quantify because all modern mathematics, in one form or another has received its influence; and different parts of the mathematical scaffolding constantly interact with the natural sciences and modern technology.
Newton and Leibniz are considered the inventors of calculus but they represent a link in a long chain started many centuries before. It was they who gave the infinitesimal procedures of their immediate predecessors, Barrow and Fermat, algorithmic unit and the necessary precision novel method and of sufficient generality for further development.
These developments were made from visions of men like Torricelli, Cavalieri, and Galileo; or Kepler, Valerio, and Stevin. The scope of initial operations with infinitesimal that these men achieved were also the direct result of the contributions of Oresme, Archimedes and Eudoxus. Finally latter work was inspired by mathematical and philosophical problems suggested by Aristotle, Plato, Thales, Zeno and Pythagoras. To have appropriate scientific and historical perspective, it should be recognized that one of the decisive previous contributions Analytical Geometry was independently developed by Descartes and Fermat.
Without the contribution of these and many other men more, the calculation of Newton and Leibniz probably would not exist.
Its construction was an important part of the scientific revolution experienced by the seventeenth-century Europe. New methods emphasized empirical experience and the mathematical description of our relationship with reality. The scientific revolution marked a break with the ways of thinking, study and relationship with nature that dominated almost entirely in Europe between the V and fifteenth centuries. This break and jump in the history of knowledge were preceded by the important changes that were experienced during the fifteenth and sixteenth centuries with the Renaissance and the Protestant Reformation. Differential and Integral Calculus are at the heart of the kind of knowledge, culture and society that essentially we are a part.
The extraordinary progress made in mathematics, physics and technique during the eighteenth, nineteenth and twentieth centuries, we owe it to Calculus and therefore can be considered as one of the jewels of the intellectual creation of which man can feel proud.
The seventeenth century and the dispute over the creation of calculation
In the beginning, the calculation was developed to study four scientific and mathematical problems:
Find the tangent to a curve at a point.
Find the maximum or minimum value of a quantity.
Find the length of a curve, a region area and volume of a solid.
Given a formula of distance traveled by a body at any time known, find the speed and acceleration of the body at any time. Conversely, given a formula in which the acceleration or velocity at any instant specified, find the distance traveled by the body over a period of time known.
In part these problems were analyzed by the brightest minds of this century, concluding in the masterpiece of German philosopher-mathematician Gottfried Wilhelm Leibniz and the English mathematician and physicist Issac Newton: the creation of the calculation. It is known that the two worked almost simultaneously but their approaches are different.
Newton's work are motivated by their own physical research (hence treat the variables as "amounts flowing") while Leibniz retains a geometric character, differing from his colleague, treats the derivative as an incremental ratio, and not as a speed. Leibniz derived but does not speak of infinitely small increments, which spreads flame.
X increased infinitely small differential called x, dx and recorded.
The same applies for y (notation dy). What Newton called fluxion, for Leibniz it was a differential ratio (d / dx). Not hard to imagine that, not at that time have a clear concept of limit and even function, the basics of their calculus are lax. It can be said that the calculation of fluxions of Newton is based on algebraic some unconvincing displays, and Leibniz differentials are presented as foreign entities that are defined but not behave like increments. This lack of rigor, far from the perfectionist nature of the Greek era, was very common in the Renaissance era and post harshly criticized. Two centuries passed until the untidiness in the fundamentals of calculus were solved, and today that calculation, potentially rich, is listed as one of the most profound discoveries of human reasoning.
It is very interesting the long and unfortunate controversy sparked following the priority in the discovery. At first the dispute took place within the framework of courtesy but after three decades began to be offensive until the eighteenth century became mutual accusations of plagiarism. The controversy became increasing and eventually became a rivalry between the British and Continental mathematicians.
The discussion continued until long after the death of the two major players and fortunately today has lost interest and posterity has distributed equitably glories. Today it is clear that this calculation both discovered independently and almost simultaneously between 1670 and 1677, although they were published a few years later.
The spread of new ideas was very slow and at first his few applications. New methods were increasingly successful and helped solve many problems easily. New achievements were subjected to severe criticism, justification and logical and rigorous explanations of the procedures used did not occur until well into the nineteenth century, when there were other mathematicians, more concerned with the final presentation of the methods for use in the solving specific problems.
The eighteenth century
For much of the century the disciples of Newton and Leibniz were based on his work to solve various problems in physics, astronomy and engineering, which allowed them at the same time, create new fields within mathematics. Thus, the Bernoulli brothers invented the calculus of variations and the French mathematician Monge descriptive geometry. Lagrange, also French, gave a completely analytic treatment of mechanics made contributions to the study of differential equations and number theory, and developed the theory of groups. Laplace wrote his contemporary analytic theory of probability (1812) and the classic Celestial Mechanics (1799 to 1825), which earned him the nickname "the French Newton".
However, the great mathematician Euler century was the Swiss, who contributed fundamental ideas about calculus and other branches of mathematics and its applications. Euler wrote texts on calculus, mechanics and algebra that became models for others interested in these disciplines. The success of Euler and other mathematicians to solve both mathematical and physical problems using the calculation only served to accentuate the lack of adequate and justified basic ideas of calculus development. Newton's theory was based on the kinematics and speeds, in Leibniz infinitesimal, and treatment of Lagrange was completely algebraic and based on the concept of infinite series. All these systems were inadequate compared to the logical model of Greek geometry, and this problem was not resolved until the following century.
Mathematicians end of the century, the mathematical horizon it seemed obstructed. He had come to the study of very complicated issues that we were known or saw a clear scope. The sages felt the need to explore new concepts and find new procedures.
XIX century
One major problem was to define the meaning of the word function. Euler, Lagrange and the French mathematician Fourier provided solutions, but it was the German mathematician Dirichlet who proposed definition in current terms. In 1821, a French mathematician, Cauchy, got a logical and appropriate approach to the calculation and devoted himself to give a precise "continuous function" definition. He based his view of the calculation only in finite quantities and the concept of limit.
This solution posed a new problem, that of the logical definition of real number. Although the definition of Cauchy calculation was based on this concept, was not he but the German mathematician Dedekind who found a suitable definition for real numbers. German mathematicians Weierstrass and Cantor also gave other definitions about the same time.
In addition to strengthening the foundations of analysis, name given thereafter to the techniques of calculation were carried out important progress in this area. Gauss, one of the most important mathematicians of history, gave an adequate explanation of the concept of complex number; these numbers formed a whole new field of analysis developed in the work of Cauchy, Weierstrass and the German mathematician Riemann. Another important development was the study of infinite sums of expressions with trigonometric functions, very useful tools in both pure and applied mathematics, made by Fourier.
Cantor studied infinite sets and infinite numbers arithmetic. Cantor's theory was considered too abstract and criticized. We find here a critical spirit in the development of these notions so rich. This is a point of view very different from that encouraged the mathematicians of the last century. It is no longer about building expressions or forge new calculation methods, but to analyze concepts considered hitherto intuitive. Gauss developed the non-Euclidean geometry but was afraid of the controversy that might cause publication.
Also in this century we pass the simple study of polynomials to the study of the structure of algebraic systems.
The foundations of mathematics were completely transformed during the nineteenth century, especially by the English mathematician Boole in his book Research on the Laws of Thought (1854).
XX century and today
It is important the contribution made by Lebesgue integration and referred to the measure theory and modifications and generalizations made by mathematicians who succeeded him.
At the International Conference of Mathematicians held in Paris in 1900, the German mathematician David Hilbert, who contributed substantially in almost all branches of mathematics resumed twenty mathematical problems that he believed could be the goals of mathematical research of the century which he was just beginning. These problems were the stimulus for much of the mathematical works of the century.
The advance caused by the invention of the programmable digital computer or computer gave a boost to certain branches of mathematics, such as numerical analysis and finite mathematics and generated new areas of mathematical research and the study of algorithms. He became a powerful tool in fields as diverse as number theory fields, differential equations and abstract algebra. In addition, the computer allowed to find the solution to various mathematical problems had not been solved before.
Mathematical knowledge of the modern world is moving faster than ever. Were completely different theories have come together to form more complete and abstract theories.
Although most of the major issues have been resolved, others remain unresolved. At the same time there are new and challenging problems and even the most abstract mathematical finds application.
As you can see, the calculation was developed in the shadow of four problems that were working on European mathematicians of the seventeenth century.
1. The problem of the tangent line
2. The problem of speed and acceleration
3. The problem of maximum and minimum
4. The problem area.
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